jueves, 16 de noviembre de 2006

Números de buena familia

Dicen Forges y Juan José Millás que hay Números pares, impares e idiotas.

Yo, lo que sé, es que a los profesores de programación nos encantan los números primos; el programador que no haya tenido que hacer una función o un programa para determinar si un entero es primo, que levante la mano. Vale, pues para ese que la ha levantado: un número es primo si sólo es divisible entre el 1 y el propio número. A saber, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41..

Y ya puestos, hay que mencionar a los números omirps ¿qué cuáles son? pues los primos que al invertir sus dígitos siguen siendo primos: el 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97..

Otros que salen mucho en los problemas de programación son los números perfectos, que son iguales a la suma de sus divisores propios, como el 6 (1+2+3=6) o el 28 (1+2+4+7+14=28). Si rizamos un poco el rizo, encontramos los números amigos: A y B son amigos si la suma de los divisores propios de A es B y la suma de los divisores propios de B es A. ¿Un ejemplo? 220 y 280: los divisores de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, y 110 que suman 280. Y los de 280, (1, 2, 4, 71 y 142) suman 220.

Pero, en realidad, estamos hablando de casos particulares de un enunciado más general. Si se llama sigma(n) a la suma de los divisores de n, nos podemos dedicar a jugar... podemos calcular sigma(n), sigma(sigma(n)), sigma(sigma(sigma(n))) y seguir; algo de este estilo:

sigma(16)=1+2+4+8=15
sigma(15)=1+3+5=9
sigma(9)=1+3=4
sigma(4)=1+2=3
sigma(3)=1
sigma(1)=0
(nota: como los divisores propios son los divisores excluido el propio número, con el 1 no nos queda más remedio que aceptar 0 como suma de divisores propios)

Al final se llega a 0; hay quien diría que como al 16 le cuesta 6 pasos llegar al 0, su valor en la secuencia alícuota es 6. Claro que también puede ser que el proceso anterior "se ralle"; vamos, que salga un bucle. Probemos con el 12496,

sigma(12496)=14288
sigma(14288)=15472
sigma(15472)=14536
sigma(14536)=14264
sigma(14264)=12496

¿Bonito verdad? Es un ciclo de longitud 5 y se dice que esos números son sociables. Por lo tanto, números perfectos y números amigos son casos particulares de los números sociables, de tamaño de ciclo 1 y 2, respectivamente.

A la vista de esto, alguien puede pensar que por qué diantres tiene que funcionar este montaje y que por qué no se cae en un proceso infinito. Los matemáticos no lo han podido demostrar, pero conjeturan que cuando nos embarcamos en el proceso anterior, o llegamos al 0 ó encontramos un bucle. ¡Ánimo si quieres comprobarlo!

Hay otra familia de números que me gusta, aunque no creo que mis alumnos del curso 2001/02 compartan mi entusiasmo. En el examen de febrero, el parcial, tuvieron que escribir una función para determinar si un número era o no odioso, es decir, si tenía un número impar de unos al pasarlo a base 2. Por ejemplo, 1, 2 (10), 4 (100), 7 (111), 8 (1000), 11 (1011)..

Lo malo fue que en el final tuvieron que escribir una función recursiva para determinar si un entero dado era un número diabólico, a saber, el que tiene un número impar de ceros al pasarlo a base 2: 0, 2 (10), 5 (101), 6 (110), 8 (1000), 11 (1011)..

Y como soy así, si del odioso pasé al diabólico, para seguir la secuencia tenía que apostar fuerte. Me dejé para el examen de septiembre la propuesta de escribir una función que determinara si un número entero era apocalíptico. Vamos, si se le había colado la secuencia de dígitos '666' (16667234, 666, 35666, 100666001.. )

Algunas bonitas definiciones más:

- los números curiosos (o automórficos), que al elevarlos al cuadrado "acaban" en ellos mismos. Pasemos a los ejemplos para no liarla más: el 5 (porque 25 acaba en 5), el 6 (porque 36 acaba en 6), el 376 (porque 376 al cuadrado es 141376 que acaba en 376)..

- las potencias perfectas, que son los números que poseen un divisor que cumple que su cuadrado también es un divisor, como le pasa al 81: 3 y 32=9 son divisores de 81.

- los números pluscuamperfectos, que son números de n dígitos que cumplen que son iguales a la suma de la potencia n-ésima de sus dígitos. Bueno mejor con el ejemplo, ¿no?: 548834 es igual a 56+46+86+86+36+46.

- y .. los que aún no han salido en un ejercicio de examen y que no voy a poner por aquí :-) todavía ;-)

Claro que a veces hago trampa, y me invento definiciones: dos números enteros positivos n y m están liados si al pasarlos a binario la cantidad de unos de n es igual a la cantidad de ceros significativos de m y la cantidad de ceros significativos de n es igual a la cantidad de unos de m. Vamos que al pobre 50 lo lié con el 35 (100011), el 37 (100101), el 38 (100110), el 41 (101001), el 42 (101010), el 44 (101100), el 49 (110001), el 52 (110100) y el 56 (111000). Cuando se entere su novia, me mata...


Y, para acabar, me dejo la más bonita. Se dice que un número es maravilloso cuando es el 1 ó conseguimos llegar al 1 a través del siguiente proceso: si es par, lo dividimos entre 2; si es impar, lo multiplicamos por 3 y le sumamos 1. Y vuelta a empezar el proceso hasta llegar al 1.

Y, no me preguntéis por qué, pero, sea cual sea el número, siempre se llega al 1. Los matemáticos (siempre tan formales) dicen que Se conjetura que todos los números son maravillosos.

Pues, ¡qué queréis!, yo estoy absolutamente convencida de que todos los números son maravillosos...

7 comentarios:

servidora dijo...

Felicidades...

Anónimo dijo...

ostras, me ha encantado el post, muy matemático y de profe pero me ha gustado :)
yo tb opino q los números molan ;)
por cierto, supongo q lo habrás leído pero el diablo de los números de Hans Magnus Enzensberger me lo regalaron unas navidades mis padres y me gustó mucho.

ara si q vaig a dormir. bona nit i totes les puces al teu llit, la més grossa al teu melic :)

Jaco dijo...

Qué entrada más curiosa, aunque ya me habían hablado de tu afición a los números :)

El libro de Hans Magnus es genial, tengo que releerlo.

A ver si en talf te sale algún lenguaje maravilloso :P

Nanitas dijo...

Nunca había oido hablar de los números "omirps" pero molan, la verdad es que es un post muy curioso. Nunca te acostarás sin saber algo más ;)

Saludos glo!

Anónimo dijo...

Bien, pues yo arrimaré el ascua a mi sardina, te cuento un chiste inglés y al mismo tiempo añado una nueva definición numérica (todo en uno).
NÚMEROS CANÍBALES: en esta definición sólo se incluye el 7. Se explica fácilmente: seven, eight, nine. O sea, "seven ate nine".

Mars Attacks dijo...

Gracias :D Por las preciosas canciones, la tira y el post =***************** Y, sobretodo, por ser tú =*******************************************

ZonaLunar dijo...

Sólo te faltan los números de Lost :)

!!!Estupendo, servidora!!!